2025年成考专升本《高等数学一》每日一练试题04月17日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ae3458f62.png" />＝（）。</p><ul><li>A：3</li><li>B：2</li><li>C：1</li><li>D：0</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：x²＋1在（-∞，∞）都是连续的，函数在连续区间的极限，可直接代入求得，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ae7100201.png" />＝0＋1＝1。</p><p>2、设y＝sinx，则y''＝（）。</p><ul><li>A：-sinx</li><li>B：sinx</li><li>C：-cosx</li><li>D：cosx</li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：y＝sinx，则y'＝cosx，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1763759a8324718.png" />。</p><p>3、设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），曲线f（x）在（a，b）内平行于x轴的切线（）。</p><ul><li>A：仅有一条</li><li>B：至少有一条</li><li>C：不存在</li><li>D：不一定存在</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：由罗尔定理可知，至少存在一个<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cee9dc149.png" />，使得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cef72c36e.png" />.而<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cf051f22f.png" />表示函数在<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cf120a755.png" />处的切线的斜率，所以曲线f（x）在（a，b）内平行于x轴的切线至少有一条。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求曲线y＝x²在点（a，a²）（a＜1）的一条切线，使由该切线与x＝0、x＝1和y＝x²所围图形的面积最小。</p><p>答 案：解：设所求切线的切点为（a，b），见下图，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814257361c.png" />则b＝a²，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388143d3fc16.png" />，切线方程为y－b＝2a（x－a），y＝2ax－2a²＋b＝2ax－a²。设对应图形面积为A，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814689e85a.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881476e033e.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814851e37c.png" />，令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881492513cb.png" />。当a＜<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＜0；当a＞<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＞0，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881536b8640.png" />为f(a)的最小值点，切线方程为：y＝x－<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815675a0c3.png" />。</p><p>2、将函数f（x）＝sinx展开为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b021cef4a0.png" />的幂级数．</p><p>答 案：解：由于<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b022dd7c53.png" />若将<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0243cdc49.png" />看成整体作为一个新变量，则套用正、余弦函数的展开式可得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b025783538.png" />从而有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b026d1e787.png" />其中<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b02803fbc0.png" />（k为非负整数）。</p><p>3、若<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638573f1efd7c.png" />，求a与b的值。</p><p>答 案：解：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638573ff75e0e.png" />，又x<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385740b2d59e.png" />3，分母x-3<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963857413e8a5c.png" />0；所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638574334fb45.png" />，得9＋3a＋b＝0，b＝－9－3a，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963857453496ab.png" />（9＋3a）＝（x－3）[x＋（3＋a）]，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963857471d3120.png" />a＝0，b＝－9。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、过点M（1，2，3）且与平面2x-y＋z＝0平行的平面方程为（）。</p><p>答 案：2x－y＋z＝3</p><p>解 析：因为已知平面与所求平面平行，取已知平面的法线向量（2，－1，1）即为所求平面法线向量.由平面的点法式方程可知所求平面为2（x－1）－（y－2）＋（z－3）＝0，即2x－y＋z＝3。</p><p>2、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef96694a39.png" />  </p><p>答 案：0</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef96ac1517.png" /></p><p>3、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385675962fc3.png" />＝（）。</p><p>答 案：1</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385676b1b812.png" />。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf0631827ee.png" />  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf0635b4d43.png" /></p>