2025年成考专升本《高等数学一》每日一练试题02月08日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、曲线y＝x²＋5x＋4在点（－1，0）处切线的斜率为（）。</p><ul><li>A：2</li><li>B：－2</li><li>C：3</li><li>D：－3</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：点（－1，0）在曲线y＝x²＋5x＋4上，y'＝2x＋5，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385c5441b029.png" />，由导数的几何意义可知，曲线y＝x²＋5x＋4在点（－1，0）处切线的斜率为3。</p><p>2、若<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063871b92b3cb7.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063871b9e3abc0.png" />＝（）。</p><ul><li>A：F（e^-x）＋C</li><li>B：F（e^x）＋C</li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/3063871cea8fb80.png' />＋C</li><li>D：-F（e^-x）＋C</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：由<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063871d071a52d.png" />，可得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063871d166a7d0.png" />。</p><p>3、微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375b0e4ba59e.png" />的阶数为（）。</p><ul><li>A：1</li><li>B：2</li><li>C：3</li><li>D：4</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：所给方程含有未知函数y的最高阶导数是2阶，因此方程的阶数为2。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374add1c6145.png" />的通解．</p><p>答 案：解：原方程对应的齐次微分方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ade8112f4.png" />特征方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374adf9e847c.png" />特征根为x₁＝-1，x₂＝3，<br />齐次方程的通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae1b2107f.png" /><br />设原方程的特解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae3374b9e.png" />＝A，代入原方程可得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae434e613.png" />＝-1。<br />所以原方程的通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae5b9e010.png" />（C₁，C₂为任意常数）</p><p>2、求曲线y＝x²在点（a，a²）（a＜1）的一条切线，使由该切线与x＝0、x＝1和y＝x²所围图形的面积最小。</p><p>答 案：解：设所求切线的切点为（a，b），见下图，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814257361c.png" />则b＝a²，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388143d3fc16.png" />，切线方程为y－b＝2a（x－a），y＝2ax－2a²＋b＝2ax－a²。设对应图形面积为A，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814689e85a.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881476e033e.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814851e37c.png" />，令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881492513cb.png" />。当a＜<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＜0；当a＞<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＞0，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881536b8640.png" />为f(a)的最小值点，切线方程为：y＝x－<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815675a0c3.png" />。</p><p>3、设f（x，y）为连续函数，交换二次积分<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638852a69d533.png" />的积分次序。</p><p>答 案：解：由题设知<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638852b7b66e1.png" />中积分区域的图形应满足1≤x≤e，0≤y≤lnx，因此积分区域的图形见下图中阴影部分<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638852ea3b3a1.png" />．由y＝lnx，有x＝e^y。所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163885309c8a22.png" />。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、级数<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163885cdc1d329.png" />的收敛半径是（）。</p><p>答 案：</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163885cecaebbb.png" /></p><p>2、设函数z＝f（x，y）可微，（x₀，y₀）为其极值点，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388498de7e9f.png" />（）。</p><p>答 案：</p><p>解 析：由二元函数极值的必要条件可知，若点（x₀，y₀）为z＝f（x，y）的极值点，且<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638849c619804.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638849d213fcb.png" />在点（x₀，y₀）处存在，则必有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638849ef2fd80.png" />，由于z＝f（x，y）可微，则偏导数必定存在，因此有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884a076e17b.png" />。</p><p>3、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663749668dfd94.png" />，则dy＝（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374967ad0538.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663749691999a6.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、求微分方程y”-y’-2y=3e^x的通解。  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdc22239d25.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdc2273eaf2.png" />  </p><p>解 析：本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程。 <img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdc22d481d7.png" />  </p>