2024年成考高起点《数学(理)》每日一练试题12月05日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、两条直线是异面直线的充分条件是这两条直线（）。</p><ul><li>A：分别在两个平面内</li><li>B：是分别在两个相交平面内的不相交的直线</li><li>C：是分别在两个相交平面内的不平行的直线</li><li>D：分别在两个相交平面内，其中一条与这两个平面的交线相交于一点，而另一条不过这个点</li></ul><p>答 案：D</p><p>2、已知a，b为任意正实数，则下列等式中恒成立的是（）。</p><ul><li>A：a^b=b^a</li><li>B：2^a+b=2^a+2^b</li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda8d8bd2b8.png' /></li><li>D：a^lgb=b^lga</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：由于a，b为任意正实数，不妨取a=1，b=2。在A项中，1²≠2¹；B项中，2¹⁺²≠2¹+2²；C项中，<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda8e28191d.png" />，而<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda8e903ff2.png" />≠<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda8ef64b2b.png" />。故选D。</p><p>3、从点M(x,3)向圆<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864224d89e6386.png" />作切线，切线的最小值等于（）  </p><ul><li>A：4</li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/2864224da12068a.png' /></li><li>C：5</li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/2864224da7648e6.png' /></li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：如图,相切是直线与圆的位置关系中的一种，此题利用圆心坐标、半径，求出切线长. 由圆的方程知,圆心为B(-2,-2),半径为1，设切点为A，<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864224fb292668.png" /> 由勾股定理得， <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864224fdde65a2.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864224fe756e3a.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864224feb9db09.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864224ff1e7eb2.png" /> 当x+2=0时，MA取最小值，最小值为<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642250091e1b3.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864225047b55db.png" />  </p><p>4、函数<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda49e36cae.png" />定义域为（）。</p><ul><li>A：{x|x＜3,x∈R}</li><li>B：{x|x＞-1.x∈R}</li><li>C：{x|-1＜x＜3,x∈R}</li><li>D：{x|＜-1或x＞3,x∈R}</li></ul><p>答 案：D</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdbb778a3b9.png" /> 展开式的二项式系数之和比<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdbb808b62e.png" />展开式的二项式系数之和小240。 求：（1）<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdbb8dc5828.png" />展开式的第3项； <br />（2）<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdbb91b0620.png" />展开式的中间项。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdbb9883500.png" /></p><p>2、在正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642255fa50503.png" /> （Ⅰ）写出向量<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/286422561b1d145.png" />关于基底{a,b,c}的分解式 （Ⅱ）求证：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/286422563d58cde.png" /> （Ⅲ）求证：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642256478aacd.png" />  </p><p>答 案：(Ⅰ)由题意知(如图所示) <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/286422566983935.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642256740213a.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/286422567c06c5d.png" /> (Ⅱ)<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2864225695c5fbd.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/286422569cdc533.png" /> (Ⅲ)<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642256a537b6d.png" /> 由已知，a,c是正四棱柱的棱，a,b,c两两垂直 <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642256d1c4379.png" />  </p><p>3、求下列函数的最大值、最小值和最小正周期： （1）<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef4624e6f4.png" />（2）y=6cosx+8sinx</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef466111f7.png" />  </p><p>4、已知设△ABC的三边长为a、b、C，2sin²A=3（sin²B+sin²C）且cos2A+3cosA+3cos（B-C）=1，求证：a：b：c=<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda946846fe.png" />：1：1。</p><p>答 案：因所证的是△ABC三边的比，所以可将题中角的关系式转化为边的关系式，需用正弦定理关于题中的余弦关系式可通过恒等变形化为正弦函数的关系式。 ∵2sin²A=3（sin²B+sin²C）…① 由正弦定理得，2a²=3（b²+c²）…② <br />∵cos2A+3cosA+3cos（B-C）=1 <br />∴3[cosA+cos（B-C）]=1-cos2A.<br />∵A=180°-（B+C） <br />∴3[-cos（B+C）+cos（B-C）]=2sin²A. 由两角和与差的余弦公式得 <br />6sinBsinB=2sin²A…③ <br />由①③得，2sinBsinC=sin²B+sin²C.<br />sin²B-2sinBsinC+sin²C=0 <br />（sinB-sinC）²=0 <br />sinB= sinC.<br />由正弦定理得<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda958695de.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda95ccd574.png" /><br /><br />∴a：b=<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda9616900d.png" />：1 <br />于是a：b：c=<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda967dbd1c.png" />：1：1。  </p><p class="introTit">填空题</p><p>1、点B（4，-5）按向量a平移后的对应点B0（-4，7），则a的坐标是______。  </p><p>答 案：（-8，12）</p><p>解 析：由平移公式得-4=4+a1，7=-5+a2→a1=-8，a2=12 ∴a的坐标是（-8，12）。  </p><p>2、椭圆的中心在原点，一个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6与两坐标轴的交点,则此椭圆的标准方程为（）  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/286422989dd2b03.png" /></p><p>解 析：原直线方程可化为<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642298bab2d76.png" />交点(6,0),(0,2). 当点(6,0)是椭圆一个焦点,点(0,2) 是椭圆一个顶点时,c=6,b=2,<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642298d6bc461.png" />当点(0,2) 是椭圆一个焦点,(6,0) 是椭圆一个顶点时,c=2,b-6,<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/28642298ef2aa6b.png" /></p>