2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题10月16日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、曲线y<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641419f9e8ab6.png" />的水平渐近线方程是（）</p><ul><li>A：y=2</li><li>B：y=-2</li><li>C：y=1</li><li>D：y=-1</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764141a3fc6cd8.png" />所以水平渐近线为y=-1 ps：若<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764141a70b7b74.png" />，则y=A是水平渐近线，若<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764141a851ab6e.png" />则x=c是铅直渐近线。  </p><p>2、曲线y=-e^x在点（0，-1）处切线的斜率k=（）。</p><ul><li>A：2</li><li>B：1</li><li>C：0</li><li>D：－1</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：切线的斜率即为函数在该点的导数值<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385c015a18e7.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385c0257c40b.png" />。</p><p>3、设函数f(x)=3x³+ax+7在x=1处取得极值，则a=（）  </p><ul><li>A：9</li><li>B：3</li><li>C：-3</li><li>D：-9</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：函数f(x)在x=1处取得极值，而f’(x)=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401ab1d79335.png" />+a，故f’(1)=9+a=0，解得a=-9。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、试证：当x＞0时，有不等式<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affc6aa0f3.png" /></p><p>答 案：证：先证x＞sinx（x＞0）。设f（x）＝x－sinx，则f（x）＝1－cosx≥0（x＞0），所以f（x）为单调递增函数，于是对x＞0有f（x）＞f（0）＝0，即x－sinx＞0，亦即x＞sinx（x＞0）。再证<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affee811dd.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afffc44f70.png" /><br />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0009b99c4.png" />，所以g'(x)单调递增，又g'(x)＝0，可知g'(x)＞g'(0)＝0（x＞0），那么有g（x）单调递增，又g（0）＝0，可知g（x）＞g（0）＝0（x＞0），所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0054d6d06.png" />即<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0063d9343.png" /><br />综上可得：当x＞0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b007c4f31d.png" />。</p><p>2、已知当x→0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963856d1f10115.png" />是等价无穷小量，求常数a的值。</p><p>答 案：解：因为当x→0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963856d36e0130.png" />是等价无穷小量，所以有<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963856d485d2ef.png" />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963856d5c23a0c.png" />解得a＝2。</p><p>3、计算<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ad1f5c23d.png" />，其中D为x²＋y²＝1，y＝x及y＝0和第一象限所围成的图形.</p><p>答 案：解：在极坐标系中，D可表示为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ad400c926.png" />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ad529bf80.png" /></p><p class="introTit">填空题</p><p>1、设y＝x³＋2，则y''=（）。</p><p>答 案：6x</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663749aae87a75.png" /></p><p>2、积分<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638722beb47e6.png" />＝（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638722c91eb86.png" /></p><p>解 析：利用分部积分进行求解，得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638722d638f8e.png" /></p><p>3、微分方程xy'＝1的通解是（）。</p><p>答 案：y＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886d949a89d.png" /></p><p>解 析：分离变量，得dy＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886da20a890.png" />dx，两边同时积分<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886db23b00f.png" />，得y＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886d949a89d.png" />，即为方程的通解。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf067a1aa87.png" />（1）求曲线y=f（x）；<br />（2）求由曲线y=f（x），y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf067ed8011.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf0682f1959.png" />  </p>