2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题09月12日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、设y₁、y₂是二阶常系数线性齐次方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886ae3f2fde.png" />的两个特解，C₁、C₂为两个任意常数，则下列命题中正确的是（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/0163886b0926a4b.png' />为该方程的通解</li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/0163886b1b6e4b2.png' />不可能是该方程的通解</li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/0163886b25e2368.png' />为该方程的解</li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/0163886b306966b.png' />不是该方程的解</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：由线性方程解的结构定理知<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886b3e67058.png" />为该方程的解，题中没说明y₁、y₂是否线性无关，无法判断<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886b5f7957c.png" />是否为通解。</p><p>2、设有直线<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881ad12113e.png" />则该直线（）。</p><ul><li>A：过原点且垂直于x轴</li><li>B：过原点且垂直于y轴</li><li>C：过原点且垂直于z轴</li><li>D：不过原点也不垂直于坐标轴</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：将原点坐标（0，0，0）代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量s＝（1，0，－2），而y轴正方向上的单位向量i＝（0，1，0），s·i＝1×0＋0×1＋（－2）×0＝0，因此s⊥i，即所给直线与y轴垂直。</p><p>3、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda6bba4d69.png" />  </p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda6bfaa630.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda6c322351.png' /></li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda6c7c9b49.png' /></li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda6cbee0ea.png' /></li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：本题考查的知识点为定积分运算。 <img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda6cff0583.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bda6d43ddb3.png" />因此选B。  </p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求过点M₀（0，2，4），且与两个平面π1，π2都平行的直线方程，其中<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af2a68be37.png" /></p><p>答 案：解：如果直线l平行于π1，则平面π1的法线向量n1必定垂直于直线l的方向向量s．同理，直线l平行于π2，则平面π2的法线向量n2必定满足n2⊥s．由向量积的定义可知，取<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af2cfcec2f.png" />由于直线l过点M₀（0，2，4），由直线的标准方程可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af2eb2ecba.png" />为所求直线方程。</p><p>2、在曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815804b4d3.png" />上求一点M₀，使得如图中阴影部分的面积S₁与S₂之和S最小。<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815b132ea0.png" /></p><p>答 案：解：设点M₀的横坐标为x₀，则有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815de92308.png" />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815f1da54d.png" />S为x₀的函数，将上式对x₀求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388161216b07.png" />令S'=0,得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638816367b2e9.png" />，所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388164ebc9e7.png" />由于只有唯一的驻点，所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881664ad3a9.png" />则点M₀的坐标为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388167cc9784.png" />为所求。</p><p>3、将函数f（x）＝sinx展开为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b021cef4a0.png" />的幂级数．</p><p>答 案：解：由于<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b022dd7c53.png" />若将<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0243cdc49.png" />看成整体作为一个新变量，则套用正、余弦函数的展开式可得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b025783538.png" />从而有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b026d1e787.png" />其中<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b02803fbc0.png" />（k为非负整数）。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf0ca30edc8.png" />  </p><p>答 案：e²-e</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf0ca775a83.png" /></p><p>2、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387238d474db.png" />＝（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638723985fdf5.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638723ad2d65d.png" /></p><p>3、级数<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638aece305fec.png" />的收敛区间是（）。</p><p>答 案：（-3,3）</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638aed0449ba5.png" />，因此收敛半径R＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638aed1228030.png" />，收敛区间为（－3,3）。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、求函数f(x)=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a047d0835.png" />的单调区间。  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401af525c8e7.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401af6400cd0.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401af706ad1e.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401af8094320.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401af8b285df.png" /></p>