2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题09月08日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef9264e2f9.png" />的通解为y=（）。  </p><ul><li>A：e-x+C</li><li>B：-e-x+C</li><li>C：Ce^-x</li><li>D：Ce^x</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：所给方程为可分离变量方程。<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef92b384cc.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef93791340.png" />  </p><p>2、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375fffdc6fce.png" />与<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176376000a56c70.png" />都为正项级数，且<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1763760017d685f.png" />则下列结论正确的是（）。</p><ul><li>A：若<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/176376003a44e7a.png' />收敛，则<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/1763760048b1d0a.png' />收敛</li><li>B：若<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/176376005457117.png' />发散，则<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/176376006229a54.png' />发散</li><li>C：若<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/1763760080cc99e.png' />收敛，则<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/17637600916ac24.png' />收敛</li><li>D：若<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/176376009e49fa5.png' />收敛，则<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/17637600a929d79.png' />发散</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：由正项级数的比较判别法可知，若<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/17637600ba270c9.png" />都为正项级数，且<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/17637600c938b5b.png" />则当<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/17637600d887cb8.png" />收敛时，可得知<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/17637600e8480be.png" />必定收敛．</p><p>3、设f（x）在点x₀处取得极值，则（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385cceb5f332.png' />不存在或<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385ccf9c4612.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd059d6fb.png' />必定不存在</li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd070981a.png' />必定存在且<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd1748947.png' /></li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd085c964.png' />必定存在，不一定为零</li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：若点x₀为f（x）的极值点，可能为两种情形之一：（1）若f（x）在点x₀处可导，由极值的必要条件可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd3ecee9f.png" />；（2）如f（x）＝|x|在点x＝0处取得极小值，但f（x）＝|x|在点x＝0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、欲围造一个面积为15000平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米600元，其余三面材料造价为每平方米300元，试问正面长为多少米才能使材料费最少?</p><p>答 案：解：设运动场正面围墙长为x米，则宽为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c5a1f7e1.png" />，设四面围墙高相同，记为h，则四面围墙所用材料费用，f（x）为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c7358bc8.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870cce56ecc.png" />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c9a2e335.png" />得驻点x₁＝100，x₂＝－100（舍掉），<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870cdd70784.png" />由于驻点唯一，且实际问题中存在最小值，可知x＝100米，侧面长150米时，所用材料费最小。</p><p>2、计算<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375daf19ee29.png" /></p><p>答 案：解：利用洛必达法则，得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375db05a5eb7.png" /></p><p>3、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac2f04259b.png" />的通解。</p><p>答 案：解：原方程对应的齐次方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac300089f5.png" />，特征方程及特征根为r²－4r＋4＝0，r_1，2＝2，齐次方程的通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac33159fca.png" />。在自由项<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac3410667c.png" />中，a=-2不是特征根，所以设<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac35b7ee07.png" />，代入原方程，有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac36d49e52.png" />，故原方程通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac37e8351d.png" />。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、微分方程xy'+y＝0满足y（1）＝1的解为y＝（）  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645be1779835.png" /></p><p>解 析：由xy'+y＝0得<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645be1dd3ade.png" />，通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645be235c986.png" />，将y（1）＝1代入通解，得C＝1,故所求的解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645be2993b0d.png" /></p><p>2、广义积分<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638805ac70a46.png" />＝（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638805b690ea3.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638805c7b9370.png" />。</p><p>3、设I=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414030ee674e.png" />交换积分次序，则有I=（）</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414032f6347a.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140336b7f20.png" />的积分区域<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414034e05ef7.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641403566791e.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414035c360c7.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、设抛物线Y=1-x²与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD（如图2—1所示）。设梯形上底CD长为2x，面积为S（x）。<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf0d55b56bb.png" /><br />（1）写出S（x）的表达式；<br />（2）求S（x）的最大值。  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bf0d5b04a0d.png" /></p>