2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题09月07日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的是（）。</p><ul><li>A：1/（1－x）</li><li>B：lnx</li><li>C：1/（1－lnx）</li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385d30cd094d.png' /></li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：AC两项，在[1，e]不连续，在端点处存在间断点（无穷间断点）；B项，lnx在[1，e]上有定义，所以在[1，e]上连续，且<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385d3292f64f.png" />在（1，e）内有意义，所以lnx在（1，e）内可导；D项，定义域为[2，＋∞]，在[1，2）上无意义。</p><p>2、设y＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/16637492f0c908a.png" />，则dy＝（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/16637492f609990.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/16637492fa4702f.png' /></li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/16637492fe6a03d.png' /></li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/16637493040d110.png' /></li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374930d11eed.png" />。</p><p>3、已知f(xy,x-y)=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641400eb570c7.png" />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641400fc3e15f.png" />等于（）</p><ul><li>A：2</li><li>B：2x</li><li>C：2y</li><li>D：2x+2y</li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：因f(xy,x-y)=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641400eb570c7.png" />=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414014ddbd40.png" />故<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641401605bb19.png" />从而<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414016972068.png" /></p><p class="introTit">主观题</p><p>1、证明：当x＞0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375e0551a913.png" /></p><p>答 案：证：设f（x）＝（1＋x）ln（1＋x）－x，则f'（x）＝ln（1＋x）。当x＞0时，f'（x）＝ln（1＋x）＞0，故f（x）在（0，＋∞）内单调增加，<br />且f（0）＝0，故x＞0时，f（x）＞0，<br />即（1＋x）Ln（1＋x）－x＞0，（1＋x）ln（1＋x）＞x。</p><p>2、试证：当x＞0时，有不等式<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affc6aa0f3.png" /></p><p>答 案：证：先证x＞sinx（x＞0）。设f（x）＝x－sinx，则f（x）＝1－cosx≥0（x＞0），所以f（x）为单调递增函数，于是对x＞0有f（x）＞f（0）＝0，即x－sinx＞0，亦即x＞sinx（x＞0）。再证<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affee811dd.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afffc44f70.png" /><br />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0009b99c4.png" />，所以g'(x)单调递增，又g'(x)＝0，可知g'(x)＞g'(0)＝0（x＞0），那么有g（x）单调递增，又g（0）＝0，可知g（x）＞g（0）＝0（x＞0），所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0054d6d06.png" />即<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0063d9343.png" /><br />综上可得：当x＞0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b007c4f31d.png" />。</p><p>3、在曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815804b4d3.png" />上求一点M₀，使得如图中阴影部分的面积S₁与S₂之和S最小。<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815b132ea0.png" /></p><p>答 案：解：设点M₀的横坐标为x₀，则有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815de92308.png" />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815f1da54d.png" />S为x₀的函数，将上式对x₀求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388161216b07.png" />令S'=0,得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638816367b2e9.png" />，所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388164ebc9e7.png" />由于只有唯一的驻点，所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881664ad3a9.png" />则点M₀的坐标为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388167cc9784.png" />为所求。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374585f3b487.png" />＝（）。</p><p>答 案：2（e-1）</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/16637458663ea36.png" />。</p><p>2、过M₀（1，-1，2）且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为（）。  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdc168a7f4d.png" /></p><p>解 析：本题考查的知识点为直线方程的求解。 <img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1566bdc16ee3f9c.png" />  </p><p>3、设x²为f（x）的一个原函数，则f（x）=_____。  </p><p>答 案：2x</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bec73091318.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef9eace5f8.png" />  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666bef9f24ed4a.png" /></p>