2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题08月30日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、当x→0时，与3x²＋2x³等价的无穷小量是（）。</p><ul><li>A：2x³</li><li>B：3x²</li><li>C：x²</li><li>D：x³</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：由于当x→0时，3x²为x的二阶无穷小量，2x³为x的三阶无穷小量，因此3x²＋2x³为x的二阶无穷小量，即<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af648102e7.png" />。</p><p>2、曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176413e20ef1385.png" />与其过原点的切线及y轴所围面积为（）</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/176413e22131363.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/176413e228b6826.png' /></li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/176413e22d7bf72.png' /></li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/176413e233b0b84.png' /></li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：设<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176413e24ca4a55.png" />为切点，则切线方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176413e25bd7507.png" />联立<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176413e26a09694.png" />得<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176413e279016e2.png" />所以切线方程为y=ex，故所求面积为<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176413e29f7d093.png" /></p><p>3、微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/16637454177b20a.png" />的阶数为（）。</p><ul><li>A：1</li><li>B：2</li><li>C：3</li><li>D：4</li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374541f0f375.png" />所含有未知函数y的导数最高阶数为1，为一阶微分方程。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374afc293c27.png" />，求<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374afcf46756.png" />。</p><p>答 案：解：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374afe188e20.png" /></p><p>2、试证：当x＞0时，有不等式<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affc6aa0f3.png" /></p><p>答 案：证：先证x＞sinx（x＞0）。设f（x）＝x－sinx，则f（x）＝1－cosx≥0（x＞0），所以f（x）为单调递增函数，于是对x＞0有f（x）＞f（0）＝0，即x－sinx＞0，亦即x＞sinx（x＞0）。再证<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affee811dd.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afffc44f70.png" /><br />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0009b99c4.png" />，所以g'(x)单调递增，又g'(x)＝0，可知g'(x)＞g'(0)＝0（x＞0），那么有g（x）单调递增，又g（0）＝0，可知g（x）＞g（0）＝0（x＞0），所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0054d6d06.png" />即<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0063d9343.png" /><br />综上可得：当x＞0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b007c4f31d.png" />。</p><p>3、求<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163880ee1403c1.png" />。</p><p>答 案：解：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163880ef887164.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163880f0a467da.png" />。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666beb1b50b65f.png" />  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666beb1b99c97f.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666beb1c11a533.png" /></p><p>2、设f'(x₀)＝2，f(x₀)＝0，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306386b42c6eace.png" />＝（）。</p><p>答 案：-2</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306386b44ade6e0.png" />。</p><p>3、过坐标原点且与平面2x-y+z+1=0平行的平面方程为______。  </p><p>答 案：2x-y+z=0</p><p>解 析：已知平面的法线向量n₁=（2，-1，1），所求平面与已知平面平行，可设所求平面方程为2x-y+z+D=0，将x=0，y=0，z=0代入上式，可得D=0，因此所求平面方程为2x-y+z=0。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666beb2cfeee5b.png" />  </p><p>答 案：积分区域D为半圆环域，利用极坐标计算此二重积分较方便。在极坐标系下，X²+Y²=1可以化为r=1；x²+y²=4可以化为r=2。因此区域D可以表示为<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666beb2dbc4838.png" />因此<img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666beb2e1a0f0d.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202408/1666beb2e60ca33.png" /></p>