2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题08月11日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、对于微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886b75a6de5.png" />，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。</p><ul><li>A：y*＝（Ax＋B）e^x</li><li>B：y*＝x（Ax＋B）e^x</li><li>C：y*＝Ax³e^x</li><li>D：y*＝x²（Ax＋B）e^x</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：特征方程为r²－2r＋1＝0，特征根为r＝1（二重根），<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886bbd8c2a4.png" />，a＝1为特征根，原方程特解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886bda4453b.png" />。</p><p>2、函数<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd769aee8.png" />单调减少的区间为（）。</p><ul><li>A：（－∞，1]</li><li>B：[1，2]</li><li>C：[2，＋∞）</li><li>D：[1，＋∞）</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdb8cba03.png" />的定义域为（－∞，＋∞），求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdd67cf19.png" />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdea4c3e2.png" />得驻点<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdfc01d17.png" />当x＜1时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce12effde.png" />f（x）单调增加；当1＜x＜2时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce254f76d.png" />，f（x）单调减少；当x＞2时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce361539c.png" />f（x）单调增加.故单调递减区间为[1，2]。</p><p>3、当x→0时，与3x²＋2x³等价的无穷小量是（）。</p><ul><li>A：2x³</li><li>B：3x²</li><li>C：x²</li><li>D：x³</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：由于当x→0时，3x²为x的二阶无穷小量，2x³为x的三阶无穷小量，因此3x²＋2x³为x的二阶无穷小量，即<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af648102e7.png" />。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、计算<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881002028f4.png" />。</p><p>答 案：解：令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388100f15b4f.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388101acc2b6.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388102e413ca.png" /></p><p>2、求过点M₀（0，2，4），且与两个平面π1，π2都平行的直线方程，其中<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af2a68be37.png" /></p><p>答 案：解：如果直线l平行于π1，则平面π1的法线向量n1必定垂直于直线l的方向向量s．同理，直线l平行于π2，则平面π2的法线向量n2必定满足n2⊥s．由向量积的定义可知，取<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af2cfcec2f.png" />由于直线l过点M₀（0，2，4），由直线的标准方程可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af2eb2ecba.png" />为所求直线方程。</p><p>3、设函数<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375da8476d02.png" />在x＝0处连续，求常数a的值</p><p>答 案：解：f（x）在x＝0处连续，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375daa0c1850.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375daca19cb0.png" />故<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375dadef0631.png" />。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、过点（0,1,1）且与直线<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645bdf86c2fa.png" />垂直的平面方程为（）  </p><p>答 案：x+2y+z-3＝0</p><p>解 析：由题意，平面法向量为n=(1,2,1),又过点(0,1,1),故方程为x+2（y-1）+（z-1）＝0,即x+2y+z-3＝0.</p><p>2、设z＝x²-y，则dz＝（）。</p><p>答 案：2xdx－dy</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663749ad5afb18.png" /></p><p>3、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638721dc0b38c.png" />（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638721e77f5eb.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638721f6571b1.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、设D是由曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645be83cfdf4.png" />，x=0，y=0所围成的平面图形. (1)求D的面积S； (2)求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645be8b845c8.png" /></p>