2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题07月23日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、设y^(n-2)=sinx，则y⁽ⁿ⁾=()  </p><ul><li>A：cosx</li><li>B：-cosx</li><li>C：sinx</li><li>D：-sinx</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401aacb205c4.png" />因此<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401aad58b2c6.png" /></p><p>2、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870ea234aff.png" />（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/3063870ead2da1e.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/3063870eb82835c.png' /></li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/3063870ec299fd9.png' /></li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/3063870ece0a569.png' /></li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870edd7b1f5.png" />。</p><p>3、函数<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd769aee8.png" />单调减少的区间为（）。</p><ul><li>A：（－∞，1]</li><li>B：[1，2]</li><li>C：[2，＋∞）</li><li>D：[1，＋∞）</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdb8cba03.png" />的定义域为（－∞，＋∞），求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdd67cf19.png" />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdea4c3e2.png" />得驻点<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdfc01d17.png" />当x＜1时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce12effde.png" />f（x）单调增加；当1＜x＜2时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce254f76d.png" />，f（x）单调减少；当x＞2时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce361539c.png" />f（x）单调增加.故单调递减区间为[1，2]。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求由曲线y＝x2(x≥0)，直线y＝1及y轴围成的平面图形的面积．<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/16637483c8c4c2b.png" /></p><p>答 案：解：y＝x²(x≥0)，y＝1及y轴围成的平面图形D如图所示．其面积为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/16637483e6158df.png" /></p><p>2、求曲线y＝x²在点（a，a²）（a＜1）的一条切线，使由该切线与x＝0、x＝1和y＝x²所围图形的面积最小。</p><p>答 案：解：设所求切线的切点为（a，b），见下图，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814257361c.png" />则b＝a²，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388143d3fc16.png" />，切线方程为y－b＝2a（x－a），y＝2ax－2a²＋b＝2ax－a²。设对应图形面积为A，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814689e85a.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881476e033e.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814851e37c.png" />，令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881492513cb.png" />。当a＜<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＜0；当a＞<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＞0，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881536b8640.png" />为f(a)的最小值点，切线方程为：y＝x－<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815675a0c3.png" />。</p><p>3、若<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638573f1efd7c.png" />，求a与b的值。</p><p>答 案：解：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638573ff75e0e.png" />，又x<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385740b2d59e.png" />3，分母x-3<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963857413e8a5c.png" />0；所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638574334fb45.png" />，得9＋3a＋b＝0，b＝－9－3a，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963857453496ab.png" />（9＋3a）＝（x－3）[x＋（3＋a）]，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963857471d3120.png" />a＝0，b＝－9。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、微分方程dy＋xdx＝0的通解为（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375d75458c80.png" /></p><p>解 析：所给方程为可分离变量方程，分离变量得，dy＝-xdx，等式两边分别积分<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375d772333c4.png" /></p><p>2、微分方程y'+4y=0的通解为（）。</p><p>答 案：y＝Ce^-4x</p><p>解 析：将微分方程分离变量，得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886de4c0350.png" />，等式两边分别积分，得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886df7364ae.png" /></p><p>3、设区域D＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374590304fef.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663745906ccaa4.png" />（）。</p><p>答 案：π</p><p>解 析：积分区域D＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374590ee1093.png" />为圆域，其半径为2，D的面积为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374591e3f7a1.png" />又由二重积分性质可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663745924a5dc7.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、给定曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140be29ac3d.png" />与直线y=px-q（其中p>0），求p与q为关系时，直线y=px-q<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140be29ac3d.png" />的切线。</p><p>答 案：由题意知，再切点处有<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140c40e9e08.png" />两边对x求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140c4f7bf80.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140c558ef84.png" /></p>