2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题07月02日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、设y＝e^2x，则dy＝（）。</p><ul><li>A：e^2xdx</li><li>B：2e^2xdx</li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/176375aebd68986.png' /></li><li>D：－2e^2xdx</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：由复合函数的求导法则可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375aed18ece4.png" />，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375aee148158.png" />。</p><p>2、设z=(y-x)²+<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/0364019c6b1acad.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/0364019c77dd80a.png" /></p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/0364019cad1ad69.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202303/0364019cb3e5a12.png' /></li><li>C：2(x-y)</li><li>D：2(y-x)</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401abc9693a3.png" /></p><p>3、微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886beeb2e19.png" />的特征根为（）。</p><ul><li>A：0,4</li><li>B：－2，2</li><li>C：－2，4</li><li>D：2，4</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886c004e62b.png" />。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求曲线y＝x²在点（a，a²）（a＜1）的一条切线，使由该切线与x＝0、x＝1和y＝x²所围图形的面积最小。</p><p>答 案：解：设所求切线的切点为（a，b），见下图，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814257361c.png" />则b＝a²，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388143d3fc16.png" />，切线方程为y－b＝2a（x－a），y＝2ax－2a²＋b＝2ax－a²。设对应图形面积为A，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814689e85a.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881476e033e.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814851e37c.png" />，令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881492513cb.png" />。当a＜<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＜0；当a＞<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＞0，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881536b8640.png" />为f(a)的最小值点，切线方程为：y＝x－<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815675a0c3.png" />。</p><p>2、设D是由直线y＝x与曲线y＝x³在第一象限所围成的图形.（1）求D的面积S；<br />（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V。</p><p>答 案：解：由<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac457995e.png" />，知两曲线的交点为（0，0），（1，1）和（-1，-1），则（1）<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac638d915.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac7126036.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac7f4fd17.png" />（2）<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac93635b5.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375aca0d2fc7.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375acb04c7c5.png" /></p><p>3、求y＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387018466ce4.png" />的一阶导数y'。</p><p>答 案：解：两边取对数得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387019d12b78.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638701ab3b7a1.png" />两边对x求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/30638701d789e30.png" />故<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387020ad880a.png" /></p><p class="introTit">填空题</p><p>1、设区域<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663749b17373d3.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663749b265759c.png" />（）。</p><p>答 案：3π</p><p>解 析：积分区域D为半径为1的圆域，其面积为π，因此<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1663749b4c66dfa.png" />。</p><p>2、设I=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414030ee674e.png" />交换积分次序，则有I=（）</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414032f6347a.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140336b7f20.png" />的积分区域<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414034e05ef7.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641403566791e.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414035c360c7.png" /></p><p>3、幂级数<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afdc30dda6.png" />的收敛半径是（）。</p><p>答 案：1</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afdd15d629.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afde99c63a.png" />。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a0b4bb252.png" />满足初值条件<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a0c888c77.png" />的特解  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401afc1cb58a.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401afd313124.png" />  </p>