2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题06月24日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375b0e4ba59e.png" />的阶数为（）。</p><ul><li>A：1</li><li>B：2</li><li>C：3</li><li>D：4</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：所给方程含有未知函数y的最高阶导数是2阶，因此方程的阶数为2。</p><p>2、设y＝sinx，则y''＝（）。</p><ul><li>A：-sinx</li><li>B：sinx</li><li>C：-cosx</li><li>D：cosx</li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：y＝sinx，则y'＝cosx，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/1763759a8324718.png" />。</p><p>3、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385be67ea44b.png" />则y'=（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385be8a5e900.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385be994331e.png' /></li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385bea38e8dd.png' /></li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/296385beaca348e.png' /></li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385beb9e3bb1.png" /></p><p class="introTit">主观题</p><p>1、已知x＝sint，y＝cost－sint²，求<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387030d765c8.png" />。</p><p>答 案：解：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387031a695cb.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387032915935.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387033a2cbf4.png" />，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387034986f35.png" />。</p><p>2、某厂要生产容积为V₀的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?</p><p>答 案：解：设圆柱形罐头盒的底圆半径为r，高为h，表面积为S，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870b5663200.png" />由②得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870b8439ec3.png" />,代入①得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870b67012ce.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870be9aa2f9.png" />现在的问题归结为求r在（0，＋∞）上取何值时，函数S在其上的值最小。<br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c0519416.png" />,得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c141ec99.png" /><br />由②，当<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c2488571.png" />时，相应的h为：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c334a036.png" />。<br />可见当所做罐头盒的高与底圆直径相等时，所用材料最省。</p><p>3、求由曲线y＝x2(x≥0)，直线y＝1及y轴围成的平面图形的面积．<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/16637483c8c4c2b.png" /></p><p>答 案：解：y＝x²(x≥0)，y＝1及y轴围成的平面图形D如图所示．其面积为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/16637483e6158df.png" /></p><p class="introTit">填空题</p><p>1、曲线y＝1－x－x³的拐点是（）。</p><p>答 案：（0，1）</p><p>解 析：y＝1－x－x³，则y'＝－1－3x²，y''＝－6x，令y''＝0得x＝0，y＝1。当x＜0时，y''＞0；x＞0时，y''＜0．故曲线的拐点为（0，1）。</p><p>2、微分方程y'+4y=0的通解为（）。</p><p>答 案：y＝Ce^-4x</p><p>解 析：将微分方程分离变量，得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886de4c0350.png" />，等式两边分别积分，得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886df7364ae.png" /></p><p>3、设f（x，y）与g（x，y）在区域D上连续，而且f（x，y）＜g（x，y），则二重积分<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884b12ccb5f.png" />与<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884b2238163.png" />的大小关系是前者比后者（）。</p><p>答 案：小</p><p>解 析：因为二重积分的几何意义是柱体的体积，故由f（x，y）＜g（x，y）可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884b3cd0e4d.png" />小于<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884b4be9844.png" />。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140acc4272d.png" />求常数a，b</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140aef77cdc.png" /> 由此积分收敛知，应有b-a=0，即b=a， <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140b178b135.png" />  </p>