2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题06月21日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、当x→0时，5x-sin5x是x的（）。  </p><ul><li>A：高阶无穷小量</li><li>B：等价无穷小量</li><li>C：同阶无穷小量，但不是等价无穷小量</li><li>D：低阶无穷小量</li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645bb7c29d47.png" />，故5x-sin5x是x的高阶无穷小量.</p><p>2、在区间[－2，2]上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/03638af6d42e605.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/03638af6dce519a.png' /></li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/03638af6e58d344.png' /></li><li>D：1n（1＋x²）</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：A、C、D选项三个函数都是初等函数，且在[－2，2]上有定义，因此在区间[－2，2]上连续，且在区间两端点处函数值相等，又A选项的导函数为－2cosxsinx，C选项的导函数为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af71d4e929.png" />，D选项的导函数为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af72712c29.png" />，都在（－2，2）内有意义，所以A、C、D选项在（－2，2）内都可导，故它们都满足罗尔定理条件；而B选项，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af74636689.png" />故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af75c474b2.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af76b730f8.png" />则f（x）＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af780bc1c2.png" />在x＝0连续，而<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af79579a54.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af7b3eeaec.png" />所以f（x）＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af780bc1c2.png" />在x＝0处不可导，故f（x）＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af780bc1c2.png" />在（－2，2）内不可导，从而不满足罗尔定理使用条件。</p><p>3、用待定系数法求方程y''－y＝xe^x的特解时，特解应设为（）。</p><ul><li>A：y＝Ae^-x＋Be^x</li><li>B：y＝（Ax＋B）xe^x</li><li>C：y＝（Ax＋B）e^x</li><li>D：y＝（A＋B）xe^x</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：因为该微分方程的特征方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388695614e7e.png" />，显然该特征方程的根为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388696a429b5.png" />，故特解应设为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886981ae172.png" />。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、计算<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375daf19ee29.png" /></p><p>答 案：解：利用洛必达法则，得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375db05a5eb7.png" /></p><p>2、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374add1c6145.png" />的通解．</p><p>答 案：解：原方程对应的齐次微分方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ade8112f4.png" />特征方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374adf9e847c.png" />特征根为x₁＝-1，x₂＝3，<br />齐次方程的通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae1b2107f.png" /><br />设原方程的特解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae3374b9e.png" />＝A，代入原方程可得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae434e613.png" />＝-1。<br />所以原方程的通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374ae5b9e010.png" />（C₁，C₂为任意常数）</p><p>3、设f(x)是以T为周期的连续函数，a为任意常数，证明：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638810a04c178.png" />。</p><p>答 案：证：因为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638810b105867.png" />令x＝T＋t，做变量替换得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638810cade25f.png" />故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638810de0e205.png" /></p><p class="introTit">填空题</p><p>1、过点M₀（1，－2，0）且与直线<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881f355e9f9.png" />垂直的平面方程为（）。</p><p>答 案：3（x－1）－（y＋2）＋x＝0（或3x－y＋z＝5）</p><p>解 析：因为直线的方向向量s＝（3，－1，1），且平面与直线垂直，所以平面的法向量<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881f580333e.png" />，由点法式方程有平面方程为：3（x－1）－（y＋2）＋（z－0）＝0，即3（x－1）－（y＋2）＋z＝0。</p><p>2、微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afdfd74497.png" />的通解为（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afe0806252.png" /></p><p>解 析：方程可化为：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afe13e8de6.png" />，是变量可分离的方程，对两边积分即可得通解。<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afe277c407.png" />。</p><p>3、微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886e468bd4b.png" />的通解是（）。</p><p>答 案：y＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886e528ad3e.png" /></p><p>解 析：该方程是一阶线性方程，其中<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886e62849ed.png" />由通解公式，有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886e7515c8d.png" />因为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886e90e9394.png" />所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886ea78b114.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645c32071750.png" />的通解.  </p><p>答 案：令y’=p，则y”=p’<img src="https://img2.meite.com/question/2024-05/6645c3369f45e.png" />原方程可化为<img src="https://img2.meite.com/question/2024-05/6645c336c9cb8.png" />分离变量得<img src="https://img2.meite.com/question/2024-05/6645c33707397.png" />两边积分得<img src="https://img2.meite.com/question/2024-05/6645c33747738.png" /><br />则<img src="https://img2.meite.com/question/2024-05/6645c337672e7.png" />即<img src="https://img2.meite.com/question/2024-05/6645c3379a8c3.png" /><br />再次分离变量并积分得y=<img src="https://img2.meite.com/question/2024-05/6645c337c3044.png" />  </p>