2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题05月25日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、级数<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388557833724.png" />（a为大于零的常数）（）。</p><ul><li>A：绝对收敛</li><li>B：条件收敛</li><li>C：发散</li><li>D：收敛性与a有关</li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638855b02a9c3.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638855c11e7de.png" />级数，因此为收敛级数，由级数性质可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638855d964fc3.png" />绝对收敛。</p><p>2、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063871137edba5.png" />，其中f（x）为连续函数，a＞0且a≠1，则f（x）等于（）。</p><ul><li>A：2a^2x</li><li>B：a^2x㏑a</li><li>C：2xa^2x-1</li><li>D：2a^2x㏑a</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：对<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306387116fac86e.png" />两边求导得：f（x）＝2a^2xlna。</p><p>3、函数<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cd769aee8.png" />单调减少的区间为（）。</p><ul><li>A：（－∞，1]</li><li>B：[1，2]</li><li>C：[2，＋∞）</li><li>D：[1，＋∞）</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdb8cba03.png" />的定义域为（－∞，＋∞），求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdd67cf19.png" />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdea4c3e2.png" />得驻点<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385cdfc01d17.png" />当x＜1时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce12effde.png" />f（x）单调增加；当1＜x＜2时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce254f76d.png" />，f（x）单调减少；当x＞2时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385ce361539c.png" />f（x）单调增加.故单调递减区间为[1，2]。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638abfcd7e3d7.png" />的通解。</p><p>答 案：解：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638abfdcef73e.png" />的特征方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638abff01fb1d.png" />，则特征根为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638abffe17da5.png" />，故其通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac008bf86f.png" />因为自由项<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac01b1bf1b.png" />不是特征根，故设特殊解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac02b593ed.png" />代入原方程，有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac03e9196e.png" />故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac04c2d7ae.png" />的通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638ac05da9731.png" /></p><p>2、试证：当x＞0时，有不等式<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affc6aa0f3.png" /></p><p>答 案：证：先证x＞sinx（x＞0）。设f（x）＝x－sinx，则f（x）＝1－cosx≥0（x＞0），所以f（x）为单调递增函数，于是对x＞0有f（x）＞f（0）＝0，即x－sinx＞0，亦即x＞sinx（x＞0）。再证<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638affee811dd.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afffc44f70.png" /><br />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0009b99c4.png" />，所以g'(x)单调递增，又g'(x)＝0，可知g'(x)＞g'(0)＝0（x＞0），那么有g（x）单调递增，又g（0）＝0，可知g（x）＞g（0）＝0（x＞0），所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0054d6d06.png" />即<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0063d9343.png" /><br />综上可得：当x＞0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b007c4f31d.png" />。</p><p>3、将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。</p><p>答 案：解：由于<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388627d9a6c4.png" />可知<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388628ad87e5.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388629c34e26.png" /></p><p class="introTit">填空题</p><p>1、设函数f(x)满足f’(1)=5，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/0364019ec8db810.png" /></p><p>答 案：10</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401acbf9d156.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401acc7c911f.png" /></p><p>2、设I=<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414030ee674e.png" />交换积分次序，则有I=（）</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414032f6347a.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/1764140336b7f20.png" />的积分区域<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414034e05ef7.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/17641403566791e.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/176414035c360c7.png" /></p><p>3、z＝sin（x²＋y²），则dz＝（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638848f95b1b8.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638849090eabb.png" />，所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638849178c76b.png" />。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、求<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a0a3e00d2.png" />  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401afab6aba9.png" /></p>