2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题05月19日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163885621c6502.png" />收敛，sn＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388562d31175.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163885635d6347.png" />sn（）。</p><ul><li>A：必定存在且值为0</li><li>B：必定存在且值可能为0</li><li>C：必定存在且值一定不为0</li><li>D：可能不存在</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：由级数收敛的定义，级数的前n项和存在，则级数必收敛。</p><p>2、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ae3458f62.png" />＝（）。</p><ul><li>A：3</li><li>B：2</li><li>C：1</li><li>D：0</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：x²＋1在（-∞，∞）都是连续的，函数在连续区间的极限，可直接代入求得，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ae7100201.png" />＝0＋1＝1。</p><p>3、若函数F（x）和G（x）都是函数f（x）的原函数，则下列四个式子，正确的是（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202211/3063871e243b9c8.png' /></li><li>B：F（x）＋G（x）＝C</li><li>C：F（x）＝G（x）＋1</li><li>D：F（x）－G（x）＝C</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063871e3d85511.png" />。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求函数<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638aefd8a9e48.png" />的凹凸性区间及拐点．</p><p>答 案：解：函数的定义域为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638aefeeac301.png" />。<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af0026d7fa.png" />．令y″＝0，得x＝6；不可导点为x＝－3。故拐点为（6，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af01a2501a.png" />），（－∞，－3）和（－3,6）为凸区间，（6，＋∞）为凹区间。</p><p>2、设D是由直线y＝x与曲线y＝x³在第一象限所围成的图形.（1）求D的面积S；<br />（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V。</p><p>答 案：解：由<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac457995e.png" />，知两曲线的交点为（0，0），（1，1）和（-1，-1），则（1）<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac638d915.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac7126036.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac7f4fd17.png" />（2）<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ac93635b5.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375aca0d2fc7.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375acb04c7c5.png" /></p><p>3、求曲线y＝x²在点（a，a²）（a＜1）的一条切线，使由该切线与x＝0、x＝1和y＝x²所围图形的面积最小。</p><p>答 案：解：设所求切线的切点为（a，b），见下图，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814257361c.png" />则b＝a²，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388143d3fc16.png" />，切线方程为y－b＝2a（x－a），y＝2ax－2a²＋b＝2ax－a²。设对应图形面积为A，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814689e85a.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881476e033e.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814851e37c.png" />，令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881492513cb.png" />。当a＜<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＜0；当a＞<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＞0，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881536b8640.png" />为f(a)的最小值点，切线方程为：y＝x－<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815675a0c3.png" />。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a235be9a3.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a2449fce9.png" />（）。</p><p>答 案：2e²</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a2610bc67.png" />,则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a26dd4a8b.png" /></p><p>2、极限<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638565e60a121.png" />＝（）。</p><p>答 案：2</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963856610bfe18.png" />。</p><p>3、曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afcbb3d8f8.png" />在点（1，2）处的切线方程为（）。</p><p>答 案：y－2＝3（x－1）</p><p>解 析：y＝2x²－x＋1点（1，2）在曲线上，且<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638afcd7eeacf.png" />，因此曲线过点（1，2）的切线方程为y－2＝3（x－1），或写为y＝3x－1。</p><p class="introTit">简答题</p><p>1、已知函数f(x)连续，且满足<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645beaa03b83.png" />,求f(x).  </p><p>答 案：由于<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645beaeab9d4.png" />两边同时求导得<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645beb77c5fe.png" />所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202405/166645bebc9ba6e.png" /></p>