2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题05月10日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、设y＝x^-2＋3,则y'|_x＝1＝（）。</p><ul><li>A：3</li><li>B：-3</li><li>C：2</li><li>D：-2</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：y'＝（x^-2＋3）'＝（x^-2）'＋3'＝－2x^-3＝-2。</p><p>2、如果级数<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388565aa2005.png" />收敛，那么以下级数收敛的是（）。</p><ul><li>A：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/01638856693a12a.png' /></li><li>B：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/01638856729a2d8.png' /></li><li>C：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/016388567c54e3e.png' /></li><li>D：<img src='https://img2.meite.com/questions/202212/0163885686f3f8b.png' /></li></ul><p>答 案：A</p><p>解 析：A项。级数<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388569477790.png" />收敛，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638856a1d6cfc.png" />收敛；由极限收敛的必要条件可知，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638856b353526.png" />＝0，则B项，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638856c5ef172.png" />＝1；C项，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638856d39abc7.png" />；D项，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638856e95c74d.png" />。</p><p>3、直线<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af84229707.png" />与平面4x－2y－3z－3＝0的位置关系是（）。</p><ul><li>A：直线垂直平面</li><li>B：直线平行平面但不在平面内</li><li>C：直线与平面斜交</li><li>D：直线在平面内</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：直线的方向向量s＝(2，7，－3)，且此直线过点（－3，－4，0），已知平面的法向量n＝(4,－2,－3),故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638af865af168.png" />，又因点（－3，－4，0）不在已知平面内，所以已知直线相交于已知平面。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、求<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a84a8cfed.png" /></p><p>答 案：解：方法一：（洛必达法则）<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a85dc2360.png" />方法二：（等价无穷小）<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a870ab12a.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375a87faccf4.png" /></p><p>2、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b01839ca7b.png" />的通解．</p><p>答 案：解：对应齐次微分方程的特征方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b019490467.png" />，解得r₁＝3，r₂＝－2.所以齐次通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b01b0cf47a.png" />。设方程的特解设为y*＝（Ax＋B）e^x，代入原微分方程可解得，A＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b01cb92f6c.png" />，B＝<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b01d9339ef.png" />．即非齐次微分方程特解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b01ea50130.png" />。所以微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b01f95ca36.png" />的通解为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b0209e7294.png" />。</p><p>3、欲围造一个面积为15000平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米600元，其余三面材料造价为每平方米300元，试问正面长为多少米才能使材料费最少?</p><p>答 案：解：设运动场正面围墙长为x米，则宽为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c5a1f7e1.png" />，设四面围墙高相同，记为h，则四面围墙所用材料费用，f（x）为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c7358bc8.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870cce56ecc.png" />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870c9a2e335.png" />得驻点x₁＝100，x₂＝－100（舍掉），<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/3063870cdd70784.png" />由于驻点唯一，且实际问题中存在最小值，可知x＝100米，侧面长150米时，所用材料费最小。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、交换二次积分的积分次序，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884aa14b346.png" />（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884ab4284fb.png" /></p><p>解 析：由题设有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884ac5b442b.png" />从而<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884adca8d6c.png" />故交换次序后二次积分为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163884aebe3b55.png" />。</p><p>2、极限<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/29638565e60a121.png" />＝（）。</p><p>答 案：2</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/2963856610bfe18.png" />。</p><p>3、<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/186376e1ac23dfb.png" />＝（）。</p><p>答 案：2</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/186376e1be9076c.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a0b4bb252.png" />满足初值条件<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a0c888c77.png" />的特解  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401afc1cb58a.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401afd313124.png" />  </p>